Proposiciones

¿Qué es una Proposición?

La proposicion es una oracion aseverativa de la que tiene sentido decir si es verdadero o falsa
Ejemplo:
a) Dolly fue la primera oveja clonada
b) El atomo es una molecula
a) y b) son ejemplos de proposiciones, porque tiene sentido decir que a) es verdadera y b) es falsa. En consecuecia, la verdad y la falsedad son sus propiedades, es decir, solo las proposiciones que pueden ser verdaderas y falsas.

Expresiones Linguisticas que no son proposiciones

en efecto, las oraciones interrogativas, las exhortativas o imperativas, las desiderativas y exclamativas o admirativas, dubitativas o juicios de valor, no son proposiciones porque ninguna de ellas afirma o niega algo y, por lo tanto, no son verdaderas ni falsas.
Ejemplos:
a) El cuadrilatero es un poligono de cuatro lados (Oración aseverativa)
b) ¿Qué es Lógica? (Oración interrogativa)
c) Debemos honrar a nuestros heroes(Oración Imperativa o Exhortativa)
d) Sea en hora buena (Oración Desiderativa)
e) !Por Jupiter!, !Casi me saco la loteria!(Oración Exclamativa )
f) Quizas llueva mañana (Oración Duditativa)
g) Valentin es bueno (Juicio de Valor)

En Conclusion:
Para que una expresion linguistica sea proposición tiene que cumplir los siguientes requisitos:
1) Ser oracion
2) Ser oración aseverativa
3) Ser o bien verdadera o bien falsa.

Clase de Proposiciones

a) Proposiciones Atómicas
Las proposiciones atómicas carecen de conjunciones gramaticales típicas o conectivas o del adverbio de negación "no".
Ejemplo: La Lógica es distinta a la matemática.

Las proposiciones atómicas se clasifican en:

1) Proposiciones atómica Predicativas: consta de sujeto y predicado.
Ejemplo: El número dos es par.

2) Proposiciones atómicas Relacionales: constan de dos o mas sujetos vinculados entre si.
Ejemplo: Silvia es hermana de Angelica.

b) Proposiciones moleculares
Las proposiciones moleculares contine alguna conjunción gramatical típica o conectiva o del adverbio negativo "no".
Ejemplo: La lógica y la metemática son ciencias formales.

Las proposiciones moleculares se clasifican en:

1) Proposiciones moleculares conjuntivas: llevan la conjunción copulativa "Y" o sus expresiones equivalentes como "e", "pero", "aunque", "aun cuando", "tanto....como....", " sino", "ni....ni....", "sin embargo", "además", etc
Ejemplo:
a) El número dos es par, pero el número tres es impar.

Pspeudoproposiciones conjuntivas: se presentan como si fuesen proposiciones conjuntivas, pero en realidad son proposiciones atómicas y relacionales. La "Y", de los ejemplos, tiene caracter de termino relacional y no propiamente de conjunción copulativa o conectiva.
Ejemplos:
a) Sanson y Dalila son hermanos.
b) Andres y Pilar son primos.
c) La abuela y el abuelo obsequian una bicicleta a su nieto.

2) Proposiciones moleculares disyuntivas: llevan la conjuncion disyuntiva "O", o sus expresiones equivalentes como "u", "ya.....ya", "bien.....bien", " ora......ora", "sea......sea", "y/o", etc.
En Español la distyunción "o" tiene dos sentidos:
Inclusivo o debil: admite que las dos alternativas se den conjuntamente
Exclusivo o fuerte: no admite que las dos alternativas se den conjuntamente
Ejemplos:
a) Pedro es tio o sobrino (inclusiva o debil).
b) Elena esta viva o esta muerta (exclusiva o fuerte).

3)Proposiciónes moleculares Condicional: llevan la conjunción condicional compuesta “si…entonces…”, o sus expresiones equivalentes como “si”, “siempre que”, “con tal que”, “puesto que”, “ya que”, “porque”, “cuando”, “de”, “a menos que”, “a no ser que”, “salvo que”, “solo si”, “solamente si”.
Ejemplos

a)Si es joven, entonces es rebelde.

b)Es herbívoro si se alimenta de plantas.

c)El número cuatro es par puesto que es divisible por dos.

Toda proposición condicional consta de dos elementos: antecedente y consecuente. La proposición que sigue a la palabra “entonces” se denomina consecuente.

Toda proposición implicativa es condicional, pero no toda proposición condicional es implicativa. En efecto, sólo las proposiciones condicionales que son tautológicas son implicativas.

Para que una proposición condicional sea lógicamente correcta no es necesario que haya relación de antigencia entre el antecedente y el consecuente, es decir, que la verdad en una proposición condicional es independiente de las relaciones que puedan existir o no entre los significados del antecedente y el consecuente.

Finalmente, en toda proposición condicional el consecuente es condición necesaria del antecedente y el antecedente es condición suficiente del consecuente.

4)Proposición Molecular Bicondicional: lleva la conjunción compuesta “…si y solo si…”, o sus expresiones equivalentes como “cuando y sólo cuando”, “si…, entonces y solo entonces…”, etc.
Ejemplos:

a) Es fundamentalista si y solo si es talibán.

b) Habrá cosecha cuando y solo cuando llueva.

c) Si apruebo el examen de admisión, entonces y solo entonces ingresaré a la universidad.

Las proposiciones bicondicionales se caracterizan porque establecen dos condicionales, pero de sentido inverso. Por ejemplo, la proposición Bicondicional ‘el triángulo es equilátero si y solo si tiene tres lados iguales’ establece dos condicionales de sentido inverso: ‘si es triángulo equilátero, entonces tiene tres lados iguales’ y ‘si el triangulo tiene tres lados iguales, entonces es equilátero’.

En toda proposición Bicondicional el antecedente es condición necesaria y suficiente del antecedente.

5)Proposición Molecular Negativa: llevan el adverbio de negación “no”, o sus expresiones equivalentes como “nunca”, “jamás”, “tampoco”, “no es verdad que”, “no es cierto que”, “es falso que”, “le falta”, “carece de”, “sin”, etc.
Ejemplos:

a)Nunca he oìdo es mùsica.

b) Jamàs he visto al vecinio.

c) Es imposible que el àtomo sea molècula.

EL LENGUAJE FORMALIZADO DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL

El lenguaje natural y el lenguaje formalizado

Existen dos tipos fundamentales del lenguaje:
El lenguaje NATURAL es el lenguaje usado en la vida familiar, en la vida cotidiana. Tiene una amplia gama expresiva, es decir, sirve para comunicar informaciones, formular órdenes, expresar deseos, sentimientos, etc. Pertenecen a este lenguaje, por ejemplo, el español, el ingles, el francés, el alemán, entre otros.
El lenguaje FORMALIZADO es el lenguaje usado en la actividad científica. Solo sirve para formular conocimientos. Es un lenguaje especializado. Pertenecen a este lenguaje, por ejemplo, el lenguaje lógico y el matemático.

Variables proposicionales y operadores lógicos

El lenguaje lógico se denomina formalizado porque su propiedad más importante es la de revelar la forma o estructura de las proposiciones e inferencias. El lenguaje formalizado de la lógica de proposiciones consta de dos clases de signos:

Las variables proposicionales representan a cualquier proposición atómica. Son letras minúsculas de la alfabeto castellano ‘p’, ‘q’, ‘r’, ‘s’, etc.

Los operadores lógicos además de enlazar o conectar proporciones establecen determinadas operaciones entre ellas; son de dos clases: diádicos y el gonádico. Los operadores diádicos tiene un dobles alcance: hacia la izquierda y hacia la derecha, es decir, afectan a dos variables. Y son los siguientes:

a) El Conjuntivo: representa a la conjunción ’y’. Su símbolo es ‘^

b) El Disyuntivo: representa a la conjunción ‘o’.puede ser inclusivo y exclusivo. Sus símbolos respectivos son, inclusivo ‘۷’, exclusivo ‘’.

c) El Condicional: representa a la conjunción compuesta ‘si…entonces…’. Su símbolo es ‘→’.

d) El Bicondiconal: representa a la conjunción compuesta ‘si y solo si’. Su símbolo es ‘↔’.

e) Negación Conjunta: representa a las partículas ‘ni…ni’. Su símbolo es ‘↓’.

f) Negación Alterna: representa a la expresión ‘no o no’. Su símbolo es ‘‌‌׀’.

g) El Negativo: es el operador gonádico y tiene un solo alcance: hacia la derecha, es decir, afecta a una sola variable. Es el operador de la negación. Representa al adverbio negativo ‘no’. Su símbolo es ‘~’.

Principales notaciones simbólicas

Existen diferentes notaciones simbólicas, pero pueden reducirse a tres: la de Scholz, la de Peano-Russell y la de Lukasiewicz. Las tablas siguientes muestran las correspondencias entre las principales notaciones simbólicas:

Sistemas de Scholz y Peano-Russell

Las características de las notaciones simbólicas de Scholz y Peano-Russell son:

a) Los operadores diádicos se escriben entre las variables que enlazan, pero la negación va delante.

b) Los operadores son signos especiales.

c) Se usa puntos auxiliares o signos de agrupación para determinar la jerarquia entre los operadores.

Sistema de Lukasiewicz

La notación simbólica de Lukasiewicz presenta las siguientes características:

a) Los operadores se escriben delante de las variables que conectan.

b) Los operadores son letras mayúsculas del alfabeto castellano.

c) No se usa signos de agrupación ni puntos auxiliares para establecer la jerarquía entre los operadores. El operador de mayor jerarquía va a la cabeza.

La notación simbólica que con mayor se emplea en los libros de lógica que circulan en nuestro medio es la Scholz.

Reglas de formación de fórmulas lógicas

Una fórmula lógica, es decir, una fórmula bien formada (FBF) es una cadena de símbolos construida según reglas establecidas por la sintaxis lógica. Puede ser de dos tipos:

Una formula Atómica: es aquella que no contiene entre sus símbolos ningún operador y puede ser representada por una variable proposicional.

Una formula Molecular: contiene entre sus signos, al menos, un operador.

La sintaxis lógica es una disciplina metalógica que estudia el lenguaje de la lógica desde el punto de vista formal, es decir, sin interesarse más que por las relaciones entre los émbolos. Ella permite la construcción de fórmulas bien formadas estableciendo, con tal objeto, reglas para usar y combinar símbolos.

Las siguientes son reglas de la sintaxis lógica que posibilitan la construcción de fórmulas bien formadas:

Regla 1. Toda variables proposicional (‘p’, ‘q’, ‘r’, ‘s’) es una FBF.

Regla 2. Si ‘p’ es una FBF, entonces ‘ p’ es también una FBF.

Regla 3. Si ‘p’ y ‘q’ son FBF, entonces "p ^q", "p ˇq","p↔q", "p↓q", "p│q", son igualmente FBF.

Regla 4. Una Cadena de simbolos en una FBF si y colosi existe una jerarquia claramente establecida entres sus operadores; en caso contrario, la f÷ormula carece de sentido.

Regla 5. Una fórmula lógica está bien formada si y solo si existe una jerarquia claramente establecida entres sus operadores; en caso contrario, la fòrmula carecede de sentido.

Regla 6. Una FBF tiene un nombre y éste depende de su operador de mayor jerarquía.

Regla 7. El operador de mayor jerarquia es aquel que està libre de los signos de agrupaciòn. '( )', '[ ]', '{ }'.

Regla 8. Los signos de agrupacion se usan sólo cuando su omisión hace ambigua una fórmula, es decir, cuando una fòrmula es supcetible de una doble interpretación.

Regla 9. Los operadores diádicos tiene mayor jerarquía que el operador monádico.

Regla 10. El oprador negativo se escribe antes y no después del operador.

Regla 11. El operador negativo no se escribe entre dos fórmulas, sino inmediatamente a la derecha de un operador diádico.

Regla 12. Si un operador negativo antecede a otro operador igualmente negativo, entonces el de la izquierda tiene mayor jerarquía.

Formalizaciòn de proposiciones

Formalizar ua proposición significa abstraer su forma lògica y representarla simbolicamente.

La forma lógica de una proposiciòn es otra proposiciòn equivalente a la primera

la tecnica de Formalizacion de Proposiciones comprende los siguientes pasos

1. 
   
   
   Se explicita su formula lógica empleando las conjunciones 'y', 'o', 'si..., entonces' 'si y solo si' y el adverbio 'no' en sustitucíón de expresiones equivalentes



2. 
   
   
   se halla su fomula reemplazando cada proposición atómica por una variable proposicional, las conjunciones gramatcicales y sus operadroes lógicos correspondientes y el adverbio 'no' por el operador negativo.



3. 
   
   
   Los signos de agrupación se usan para establecer la jerarquia entre los operadores de una fórmula lógica, pero solo cuando su omisión la hace ambigua.

FORMALIZACIÒN DE INFERENCIAS

Una inferencias (razonamiento, deducción, argumentación o argumento¿ es una operacion logica que consiste en derivar a partir de la verdad ciertas proposiciones conocidas como premisas la verdad de otra proposicion conocida como conclusion.

las premisas de una inferencia son proposiciones uqe ofrecen las razones para aceptar la conclusion.La conclusion de una inferencia es la proposicion que se afirma sobre la base de las premisas.

Formalizar una inferencia significa abstraer su forma logica, la tecnica de formalizacion de inferencias queda expuesta a traves de los siguientes pasos:

1. Se ordena la inferencia pero solo en el caso de que su forma logica haya sido alterada en el lenguaje natural, observando el esquema: premisas-conclusion.



2. Se explicita su estructura logica empleando las conjunciones 'y', 'o', 'si..., entonces' 'si y solo si' y el adverbio 'no', en lugar de sus expresiones equivalentes. Simultaneamente, se dispone las premisa y la conclusion una debajo de la otra. Entre la ultima premisa y la conclusion se escribe una barra horizontal y la palabra 'luego', 'en consecuencia' o l 'por tanto', antes de la conclusion.



3. Se halla su formula logica sustituyendo cada proposicion atomica por una variable proposicional distinta, las conjunciones gramaticales por sus operadores logicos correspondientes, el adverbio 'no' por el operador negativo y la palabra 'luego' por el simbolo ‘→’. Los signos de agrupacion se usan para establecer la jerarquia entre los operadores de una formula, pero solo cuando su omision la hace ambigua.



4. Se construye una formula condiciona que tenga como antecedente las premisas unidas por el operador conjuntivo y como consecuente la conclusion, de tal forma que la estructura logica de cualquier inferencia quede representada esquematicamente de la siguiente manera:

[ premisa ^ premisa ] → [conclusion]

FUNCIONES VERITATIVAS Y TABLAS DE VERDAD

Definición tabular de los operadores logicos

De la conjuncion: una formula conjuntiva (p^q) es verdadera si y solo si 'p' es verdadera y 'q' verdadera tambien, en los demas casos en falsa

De la Disyuncion Inclusiva una formual disyuntiva inclusiva 'p۷q' es falsa si y solo si 'q' tambien es falsa, en los demas casos es verdadera