Historia Logica

Esbozo del Desarrollo Histórico de la Lógica

En las siguientes páginas se presenta un sucinto panorama histórico de la lógica dividido en las siguientes secciones

Edad Antigua

A los trabajos de Aristóteles (384-322 a C.) se debe la sistematización de la lógica. Conscientes de este descubrimiento (la teoría del Silogismo), los comentaristas, que durante la época bizantina se encargaron del estudio y ordenamiento de estos escritos, denominaron Organon (instrumento) al compendio que nos legó ese saber, en cuya sección inicial, Primeros Analíticos, reunió todo el material existente en su época sobre la deducción o inferencia. Es, por ello, el primer lógico formal de la historia. Su mérito consistió en haber examinado las deducciones o inferencias considerando sólo su forma o estructura, con independencia de su significado o contenido. Ésta es la razón por la que la lógica desde su creación es una ciencia formal o estructural que mantiene este carácter hasta nuestros días, tras veinticuatro siglos.
El tratamiento estructural que hizo el Estagirita de la deducción significó un aporte sustancial al desarrollo de la lógica y de la matemática: el método axiomático. En efecto, debido a que todos los razonamientos podían ser considerados como estructuras, Aristóteles axiomático su teoría del silogismo. La silogística aristotélica forma parte de lo que hoy se considera la teoría general de la inferencia deductiva y su desarrollo hace de su lógica un antecedente remoto de la contemporánea.
Casi contemporáneos con Aristóteles fueron los lógicos estoicos y los megáricos. Los primeros tuvieron el mérito de profundizar en algunos campos a los que el Estagirita no había concedido suficiente atención. Estos filósofos son los precursores más lejanos de la actual lógica proposicional y de las teorías que incluyen predicados relacionales, que son indispensables para dotar a la matemática de una lógica adecuada que el silogismo no proporciona. Por su parte, los megaricos hicieron tres aportaciones a la lógica: una en lo relativo a las paradojas (por ejemplo, la del mentiroso, atribuida a Eubúlides); otra en el examen de los conceptos modeles y, además, iniciaron un importante debate sobre los enunciados condicionales. El más importante de ellos, Diodoro Cronos, se dedico a la lógica de las modalidades temporales esclareciendo relaciones importantes entre verdad y tiempo. Sin embargo, el influjo del Estagirita fue avasallador y los estoicos y megáricos fueron desconocidos en la Edad Media, durante la cual las investigaciones lógicas se centraron en el Silogismo y sus aplicaciones.

Edad Media

Durante la Edad Media los máximos representantes de la lógica escolástica, como Pedro Abelardo, Pedro Hispano, Tomás de Aquino, Raimundo Lulio y Guillermo de Occam, no sólo perfeccionaron y sistematizaron temas heredados de la tradición antigua, sino emprendieron nuevas investigaciones como la teoría de las suposiciones precursora de la moderna teoría de la jerarquía de lenguajes, la cual es empleada para la eliminación de paradojas metalógicas. Asimismo, trabajaron en forma apreciable la lógica proposicional y conocieron sus principales reglas de inferencia a pesar de no manejar un lenguaje simbólico adecuado, lo que hizo muy difíciles sus trabajos. Por añadidura, la concepción nominalista de los universales de Occam -que interpreta los conceptos como nombres genéricos- es muy próxima a la noción contemporánea de predicado lógico.
Los escolásticos, además, emprendieron un estudio especial y profundo de la lógica modal llevándola bastante más allá del nivel inicial en el que la había dejado Aristóteles. También se enfrentaron con el problema de las “paradojas semánticas”, de las que hallaron no menos de una docena de soluciones, logrando desentrañar casi todos sus aspectos. Finalmente, los escolásticos desarrollaron la mayor parte de sus investigaciones de manera metalógica, o sea no construyendo fórmulas lógicas si no describiéndolas, cosa que los antiguos sólo habían hecho en contadas ocasiones. No obstante, como lo anotaremos líneas arriba, los filósofos medievales no lograron avanzar mucho, debido a que no contaron con un lenguaje adecuado para un eficaz análisis de inferencias.
Las principales aportaciones de esta época son las relacionadas con los términos sincategoremáticos, la teoría de la suposición y la teoría de las consecuencias.

Renacimiento y Edad Moderna

En el siglo XVII Guillermo Leibniz – el precursor de la lógica matemática - descubre por su cuenta todo cuanto habían descubierto los estoicos, megáricos y medievales y se constituye en el primer filósofo que tomó conciencia de la necesidad de disponer de un lenguaje especial para progresar en el estudio de las deducciones. Aunque los especialistas reconocen que esta idea ya estaba en germen en el Ars magna, de Raimundo Lulio, Leibniz fue el primero que sostuvo con claridad que el procedimiento para convertir la teoría de la deducción lógica en una ciencia estricta e infalible era convertirla en un cálculo mediante el uso de procedimientos matemáticos.
Esta nueva ciencia sería una mathesis universales (ciencia fundamental), que él llamo también logística o lógica matemática. Su función consistiría en demostrar la verdad de las afirmaciones filosóficas y científicas sin tener en cuenta su significado sino solamente su estructura expresada en símbolos de un lenguaje artificial, construido especialmente para calcular. Leibniz decía que calcular era operar con símbolos. Así como se podía calcular con símbolos aritméticos también ello sería factible con símbolos que representaran estructuras deductivas.
El ideal leibniziano era lograr un instrumento lógico lo suficientemente poderoso como para poder traducir cualquier discusión significativa sobre la corrección de las deducciones a una operación en la que los oponentes se limiten a revisar los cálculos para ubicar el error de manera parecida a como se corrige una suma cualquiera. El proyecto de Leibniz era demasiado ambicioso y por ello fracasó. Aunque su intuición fue grande, estuvo lejos de lo realizable y no pudo avanzar hacia la construcción de un lenguaje simbólico que superara significativamente la vieja silogística aristotélica.
Pero sus trabajos no alcanzaron difusión y pasaron inadvertidos debido al inmenso prestigio que alcanzaba Aristóteles aun hasta el siglo XVIII. Es que se admitía, con Manuel Kant en el prefacio a la segunda edición (1787) de su crítica de la razón pura, que el Estagirita había descubierto todo lo que había que descubrir sobre lógica. Se aceptaba que la lógica creada por él era un conocimiento acabado, cerrado y completo; puesto que la investigación posaristotélica no había ni refutado ni aportado nada nuevo en relación con las enseñanzas del Organon, Este apodíctico juicio privada a la disciplina lógica –al haber surgido del cerebro de Aristóteles ya acabada y perfecta, como Minerva de la cabeza de Júpiter- de su propia historia:

… a partir de Aristóteles no ha tenido que dar ningún paso atrás…
y hasta hoy la lógica no ha podido dar ningún paso adelante,
de modo que todo parecer indicar que hay que considerarla como
cerrada y completa.

Esta limitación es debida, esencialmente, a la escasa cultura referente a la historia de la filosofía, común a los demás grandes pensadores de su tiempo, cuya información en historia de la filosofía no llagaba en el tiempo más atrás de Descartes, desconociendo de manera casi total la Edad Media y que tenía de la filosofía antigua nociones de nivel puramente manualístico y poco precisas.
Sin embargo, desde hace más de un siglo la lógica ha tomado un nuevo curso y en poco tiempo ha experimentado significativos progresos que la han renovado por completo. El impulso fue dado por dos matemáticos y lógicos ingleses: George Boole- con su obra Análisis matemático de la lógica, que apareció en 1847- y Augustus De Morgan, quien ese mismo año público su Lógica formal, en la que se desarrolla la idea de Leibniz de construir la lógica como un cálculo.
Este nuevo lenguaje –conocido como Álgebra de Boole- manifestó su potencia resolviendo problemas que excedían los alcances de la lógica aristotélica y poniendo por primera vez en evidencia los errores del Estagirita. El álgebra de Boole –conocida también como álgebra de clases o de conjunto- fue asimismo investigada por De Morgan. Ambos son los creadores del moderno lenguaje formalizado de la lógica lo que les permitió, entre otras cosas, descubrir una cantidad asombrosa de nuevos tipos de deducción o inferencia. A pesar de las limitaciones de sus trabajos señalan un verdadero cambio de rumbo en la historia de la lógica y han contribuido a dotar de sus caracteres esenciales a la lógica matemática.
A fines de XIX aparecen los trabajos del matemático y lógico alemán Gottlob Frege, considerado el padre de la lógica matemática, cuya primera obra, el Begriffsschrift, publicad en 1879 marcaría el comienzo de la lógica formal contemporánea. Desarrolla un primer sistema axiomático, plenamente simbolizado, consistente y completo, de la lógica de primer orden aun antes de que se tuvieran las herramientas lógicas adecuadas para llevar a cabo la prueba de la completad de un sistema deductivo cualquiera. Bochénski, por ejemplo, no duda en comparar su primera obra lógica, el Begriffsschrift, con los Primeros analíticos y anota:

El Begriffsschrift contiene toda una serie de perspectivas totalmente nuevas.
Asi, Frege es el primero en formular de manera clara la distinción entre
variable y constante; el concepto de función lógica y el concepto de cuantificador;
da una formulación notablemente más rigurosos a la teoría aristotélica de sistema
axiomático, distingue cuidadosamente entre ley y regla, introduce la diferencia
igualmente precisa entre lenguaje y metalenguaje.

Sin embargo, la obra de Frege, a pesar de su gran valor, paso casi inadvertida y transcurriendo casi veintes años antes de que Bertrand Rusell llamara sobre ella la atención teniendo que pasar otros veintes hasta que Lukasiewicz pusiera de manifiesto con suficiente profundidad toda su riqueza y valor. Asimismo, propuso un método de cálculo de matrices para la lógica proposicional muy semejante al que se usa actualmente y desarrollo de manera axiomática la naciente teoría de conjuntos de George Cantor.
Con Giuseppe Peano (1858-1932), se cierra en cierto sentido la línea de desarrollo del cálculo lógico iniciada por el Análisis matemático de la lógica George Boole. La expresión misma de “lógica matemática” es introducida por primera vez en su obra Principios de aritmética expuestos con un nuevo método, que apareció en 1889, donde la utiliza no sólo a causa de hacer uso operacional de los símbolos, sino especialmente porque concibió la nueva lógica como un poderoso instrumento para la sistematización rigurosa del saber matemático.
La obra de Peano corona el desarrollo de la lógica en el siglo XIX. El significado histórico de su fundamentación de la aritmética –basada en las tres nociones primitivas de “número”, “cero” y “sucesor”, así como sus cinco famosos axiomas- es considerable, pues con ella muestra de manera concreta cómo aplicar ese nuevo instrumento a la sistematización de las matemáticas. Había no sólo logrado un manual completo y riguroso de lógica matemática son creado un simbolismo particularmente manejable y preciso que aún esta vigente.

Edad Contemporánea

Los trabajos de Frege y Peano fueron sistematizados y desarollados por dos filósofos y lógicos ingleses: Bertrand Rusell y Alfred North Whitehead, cuyos resultados fueron publicados en su obra monumental de nominada Principia Matemática (que consta de tres volúmenes: 1910, 1912 y 1913). Rusell y Whitehead intentan evitar la paradoja en el sistema de Frege (la de las clases que no son miembros de si misma), llevando a cabo la tarea de mostrar que es posible derivar toda la matemática de la lógica. La obra de Rusell y Whitehead debe situarse entre las mayores aportaciones que jamás se hayan hecho a la historia de la lógica. Concretamente, los Principia Matemática son en muchos aspectos todavía hoy un tratado completo, minucioso y exacto de la lógica matemática.
Posteriormente, el matemático y lógico alemán David Hilbert –fundador de la escuela formalista- mostró que los defectos de esa obra se debían a la falta de rigor en el empleo del lenguaje y creó, con tal motivo, un método denominado metamatemática, cuyo objetivo es el estudio de las teorías matemáticas, aplicando los lenguajes lógicos que habían sido creados por Frege y Rusell. El llamado “programa hilbertiano” se puede resumir brevemente: todo el campo de la matemática clásica puede concebirse como formalizable en tres sistemas axiomáticos fundamentales, a saber: el de la aritmética, el del análisis y el de la teoría de los conjuntos. Ha dado origen a una serie de investigaciones notables, como las del filósofo y lógico austriaco Rudolf Carnal en el terreno de la sintaxis lógica y las del lógico y matemático polaco Alfred Tarski en el de la semántica lógica
En su obra La Sintaxis lógica del lenguaje Carnal sostiene la tesis de que la lógica de un lenguaje determinado se identifica con su sintaxis que, a su vez, es totalmente convencional, sin estar en ningún caso vinculada a los contenidos del discurso. Sin embargo, a sólo un año de distancia de su publicación aparecía en una revista filosófica un largo artículo del lógico polaco Alfred Tarski, titulado “El concepto de verdad en los lenguajes formalizados”, que puede considerarse como el acta de nacimiento de la nueva semántica.
En 1930, el joven austriaco Kurt Godel, de 24 años, demostró en su tesis doctoral el teorema más importante de lógica matemática de este siglo, conocido como Teorema de las Proposiciones Indecidibles. En 1938, Claudio Shannon realizó la aplicación del álgebra de las proposiciones al diseño de circuitos eléctricos (conmutadores y realys), lo que constituye el aporte más importante a la construcción de las modernas computadoras electrónicas digitales.

Lógica clásica y lógica no-clásica

El panorama de la lógica que ha heredado el mundo actual se presenta enriquecido no sólo por el número de trabajos y resultados, sino también por el número de las áreas exploradas. Ha llegado a ser necesario ordenar y clasificar estos tipos de lógica, destacando en nuestro medio el esfuerzo ordenador de Francisco Miró Quesada Cantuarias para quien la lógica puede dividirse en clásica y heterodoxa o no-clásica.
De manera muy general la lógica clásica, según Francisco Miró Quesada, puede caracterizarse como aquella que es asertórica, es decir, proposicional; que tiene un lenguaje formal característico, esto es, uno de primer orden, y en la que son válidos los tradicionalmente denominados principios lógicos fundamentales: de identidad, no contradicción y tercio excluso.
La lógica no-clásica es definida, negativamente, como lo que carece de alguna de esta tres características de la lógica clásica. No es asertórica, como es el caso de la lógica normativa; o tiene un lenguaje diferente del clásico, como es el de la lógica modal que hace intervenir operadores modales; finalmente, en ella no son validos algunos de los principios lógicos fundamentales, como es el caso de las lógicas polivalentes, en que no rige, por ejemplo, el principio del tercio excluido; o en la lógica dialéctica, que omite el principio de no contradicción en su formulación tradicional.
Así a partir de 1920, y sobre la base de la enorme influencia que el filósofo y lógico austriaco Ludwing Wittgenstein ejerce a través de su Tractatus Lógico-Philosophicus, surgen y se desarrollan ciertos sistemas de la lógica que se “separan”, de diversos modos, de la lógica clásica. Es el caso de las lógicas plurivalentes o polivalentes, asociadas a nombres como los de Lukasiewicz y Post. Éstas, si bien incorporan el vocabulario de la lógica clásica, carecen por norma común ciertas leyes, tales como la del tercio excluido “pv ~p”. Estas lógicas han sido ideadas gracias a dos tipos de motivación: el interés puramente matemático de ofrecer alternativas a la semántica bivalente de la lógica clásica de proposiciones; y la insatisfacción –de un interés más filosófico- con la imposición clásica de una dicotomía exhaustiva entre verdad y falsedad e , igualmente, respecto de ciertos teoremas o inferencias clásicas.
Otro caso es el de lógica intuicioncita, creada por Brouwer y sistematizada por Heyting. Es una lógica no-clásica o divergente y no veritativo funcional que es de interés fundamentalmente filosófico y formal. Los intuicionistas (BROUWER, 1952; HEYTING, 1966) afirman que la lógica clásica es en cierto aspecto incorrecta. Consideran a la lógica como secundaria a la matemática, es decir, como un conjunto de principios descubiertos a posteriori para gobernar el razonamiento matemático. Esto es, obviamente, un reto a la concepción clásica de la lógica entendida como el estudio de principios aplicables a todo razonamiento sin tener en cuenta el contenido, y considerada como la teoría más general respecto de la cual incluso la matemática es secundaría. El rechazo del principio del tercio excluido es característico de la lógica intuicionista.
La lógica modal es otro ejemplo de la lógica no-clásica, identificada con los trabajos de Lewis. Trabaja con razonamientos que involucran esencialmente los conceptos de “necesidad” y “posibilidad”. Añade al vocabulario clásico los operadores uniposicionales “L” (que se lee “necesariamente”), y “M” (que se lee “posiblemente”), y el operador biposicional “╣”, (que se lee “implica estrictamente”). Esta lógica fue tratada por Aristóteles y los lógicos medievales; en el presente siglo Hugo Mac Coll contribuyó con propuestas formales y filosóficas. Las primeras axiomatizaciones de lógica modal de oraciones fueron ofrecidas por Lewis en 1918. Lewis sostiene que la implicación material de la lógica clásica es totalmente inadecuada para la noción intuitiva de implicación, que requiere no sólo que p no sea verdadero y q es falso sino que p no pueda ser verdadero y q es falso. En consecuencia propuso que se debería introducir en la lógica de los principia un nuevo operador para la implicación estricta, que podría definirse como “la necesidad de la implicación material”.
Los profesores Richard Routley y Robert Meyer, de la universidad Nacional de Australia, y el brasileño Newton da Costa han formulado un sistema de lógica que califican de dialéctico porque no excluye la contradicción y contiene variantes que incorporan el principio de negación de tal manera que éste exprese la idea de desarrollo. Da Costa creó un nuevo sistema de lógica, denominado actualmente paraconsistente, que ha despertado el interés de muchos lógicos contemporáneos.
Consecuentemente como lo señala el profesor Luis Piscoya, de la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, la concepción antagónica entre la lógica matemática y el pensamiento dialéctico es engañosa, pues es posible incorporar dentro de un sistema de lógica matemática la contradicción, como lo ha demostrado, entre otros, da Costa y Routley. Tampoco es necesario pensar en dos lógicas completamente distintas, pues los métodos de la lógica matemática parecen los suficientemente potentes como para expresar mediante sistemas axiomáticos algunos principios básicos de la dialéctica. Finalmente, cabe subrayar que lo dicho anteriormente no debe hacer pensar que se sugiera que los sistemas de lógica dialéctica son teorías acerca de la realidad, pues sería un craso error. Ellos son, como cualquier otro formalismo, lenguajes artificiales cuya peculiaridad es la de ser más compatibles con cierto tipo de filosofía.